各向同性高斯场的临界点平均个数与关联函数及GOE随机矩阵的若干结果

设 $\mathcal{X}= \{X(t) : t \in \mathbb{R}^N \}$ 为一个取值为实数的各向同性高斯随机场。在第一部分中，我们利用随机矩阵工具研究 $\mathcal{X}$ 具有指标 $k$ 的临界点的平均个数。我们得到了 $N$ 维 GOE 矩阵第 $k$ 个特征值的概率密度的精确表达式。我们推导出具有给定指标的临界点的平均个数的若干精确表达式。在第二部分中，我们研究这些临界点之间的吸引或排斥。一种度量是关联函数。我们证明了当 $N>2$ 时临界点之间相互吸引，$N=2$ 时中性，$N=1$ 时相互排斥。当维数大于二时临界点之间出现的吸引是由具有相邻指标的临界点引起的。我们证明了极大值与极小值之间的强排斥。极大值（或极小值）之间的关联函数依赖于周围空间的维数。