节点线与参考曲线交点的统计

我们研究一条固定平面曲线 $\Gamma$ 与平移不变且各向同性的高斯随机场 $\Psi(\bi{r})$ 的节点集及其法向导数在该曲线上零点的交点。这些交点构成一个离散随机过程,正是本文的研究对象。随机场的概率分布函数由关联函数 $G(|\bi{r}-\bi{r}'|) = \langle\Psi(\bi{r})\Psi(\bi{r}')\rangle$ 完全确定。对于任意给定的 $G(|\bi{r}-\bi{r}'|)$,我们计算该线上点过程的两点关联函数,并推导其他统计量(排斥性、刚性),用以刻画交点的短程与长程关联。我们利用这些统计量对各类节点网络所呈现的复杂模式进行定量刻画,并将这些统计量具体应用于随机波的节点模式以及混沌台球的本征函数。特别值得关注的是,对于单色随机波,与长直线段的交点数方差按 $L \ln L$ 增长,这与渗流模型所预言的线性增长不同;而渗流模型曾成功用于预言该随机场的其他长程节点性质。