高斯场游程集分支数目的中心极限定理

对于 $\mathbb{R}^d$ 上的光滑平稳高斯场和水平 $\ell \in \mathbb{R}$，我们考虑包含在大区域中的游程集 $\{f \ge \ell\}$（或水平集 $\{f = \ell\}$）的连通分支数目。在场的普遍假设下，该量的均值已知随区域体积缩放。我们证明，在相关性充分衰减的假设下（例如 Bargmann-Fock 场），以体积阶缩放的中心极限定理成立。此前，此类结果仅通过 Hermite 展开对游程集/水平集的“加性”几何泛函（如体积或欧拉示性数）建立。我们基于鞅分析的方法更为稳健，可推广到更广泛的拓扑泛函类。证明中的一个主要成分是临界点上的三阶矩界，其本身具有独立意义。