稀疏情形下高斯场游程的贝蒂数

随机场游程在医学、宇宙学、材料科学等数据分析中是一个日益重要的课题。本文首次对其在所谓“稀疏”情形下的贝蒂数进行了详细研究。具体而言，我们考虑一个分段常数高斯场，其协方差函数为正且满足某些局部性、有界性和衰减速率条件。我们通过 Čech 复形对其游程集建模。对于该复形的贝蒂数，我们证明了当窗口尺寸与游程阈值一同趋于无穷时的各类极限定理。我们的结果包括渐近均值与方差估计、具有精确过渡阈值估计的消失到非消失相变，以及非消失情形下的弱定律。我们进一步获得了接近相变阈值处的泊松近似与中心极限定理。我们的证明结合了极值理论与组合拓扑工具。