二维高斯自由场的异常缩放律

我们考察二维整数格上的高斯自由场 $\varphi$ 在大尺度 $N$ 上的行为，并给出该场在相应度图上给出 $\{\varphi \geq a\}$ 区域中有限簇半径为宏观尺度的概率 $\theta(a,N)$ 的尖锐界限。我们证明了该概率的缩放律，其中 $\theta(a,N)$ 在接近临界参数 $(a,N)$ 时从分数对数衰减过渡到非临界 regime 中的多项式衰减。该过渡发生在由相关长度尺度 $\xi$ 决定的特定缩放窗口中，当 $N/\xi$ 趋于无穷大时，$\theta(a,N) \sim \theta(0,\xi)(\tfrac{N}{\xi})^{-\tau}$，其中我们在过程中明确指出了指数 $\tau$。这与最近来自 arXiv:2101.02200 和 arXiv:2312.10030 的三维结果形成鲜明对比：这些工作表明类似可观测量在三维情况下遵循常规缩放律，在临界及临近临界时呈多项式衰减，远离临界时呈快速衰减。