三维 $XY$ 模型中的异常对数表面相变

普适性是现代临界现象的支柱。标准情形是两点关联函数随距离 $r$ 代数衰减为 $g(r) \sim r^{2-d-\eta}$，其中 $d$ 为空间维数，$\eta$ 为反常维数。近来，一种对数普适性被提出用以描述 O($N$) 系统的异常表面相变。在此对数普适性中，$g(r)$ 以对数距离的幂次衰减为 $g(r) \sim ({\rm ln}r)^{-\hat{\eta}}$，与标准情形截然不同。我们通过蒙特卡洛模拟探究三维 $XY$ 模型，并为对数普适性的出现提供了有力证据。此外，我们提出 $g(r,L)$ 的有限尺寸标度具有双距离行为：同时包含一个大距离平台（其高度随 $L$ 对数衰减为 $g(L) \sim ({\rm ln}L)^{-\hat{\eta}'}$）以及 $r$ 依赖项 $g(r) \sim ({\rm ln}r)^{-\hat{\eta}}$，且 ${\hat{\eta}'} \approx {\hat{\eta}}-1$。刻画平台高度的临界指数 $\hat{\eta}'$ 满足标度关系 $\hat{\eta}'=(N-1)/(2\pi \alpha)$，其中 $\alpha$ 为螺旋度模量的 RG 参数。我们的图像也能解释近期一个海森堡系统的数值结果。关于对数普适性的进展显著拓展了我们对临界普适性的理解。