2-SAT 相变的标度窗
摘要
我们考虑随机 2-可满足（2-satisfiability）问题，其中每个实例是一个合取范式，由 m 个子句构成，每个子句形如 (x or y)，从 n 个布尔变量及其否定上所有 2-子句中均匀随机选取。当 m 与 n 趋于无穷且比值 m/n --> alpha 时，已知该问题在 alpha_c = 1 处有一相变：低于此值时公式可满足的概率趋于一，高于此值时趋于零。我们确定了该相变附近的有限尺寸标度（finite-size scaling），即极大窗 W(n,delta) = (alpha_-(n,delta),alpha_+(n,delta)) 的标度，使得在 alpha < alpha_- 时可满足概率大于 1-delta，在 alpha > alpha_+ 时小于 delta。我们证明 W(n,delta)=(1-Theta(n^{-1/3}),1+Theta(n^{-1/3}))，其中 Theta 中隐含的常数依赖于 delta。我们还确定了在窗边界处可满足概率趋于一与零的速率。即对于 m=(1+epsilon)n，其中 epsilon 可依赖于 n，只要 |epsilon| 足够小且 |epsilon|*n^(1/3) 足够大，我们证明在窗以上可满足概率按 exp(-Theta(n*epsilon^3)) 衰减，在窗以下按 1-Theta(1/(n*|epsilon|^3)) 趋于一。我们通过定义该相变的序参量（order parameter）并确立其在窗内外的 n 标度性态来证明这些结果。利用此序参量，我们证明 2-SAT 相变是连续的，其序参量临界指数为 1。我们还确定了另两个临界指数的值，表明 2-SAT 的指数与随机图的指数相同。
引用
@article{arxiv.math/9909031,
title = {The Scaling Window of the 2-SAT Transition},
author = {Béla Bollobás and Christian Borgs and Jennifer T. Chayes and Jeong Han Kim and David B. Wilson},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9909031},
year = {2012}
}
备注
57 pages. This version updates some references