有限图的随机子图：III. $n$-立方上的相变

我们研究 $n$-立方 $\{0,1\}^n$ 的随机子图，其中最近邻边以概率 $p$ 占据。令 $p_c(n)$ 为使固定顶点的期望簇大小达到值 $\lambda 2^{n/3}$ 的 $p$，其中 $\lambda$ 为小的正常数。令 $\epsilon=n(p-p_c(n))$。在先前两篇论文中，我们证明了在由 $|\epsilon|=\Theta(2^{-n/3})$ 给出的缩放窗口内，最大簇的大小为 $\Theta(2^{2n/3})$，在该缩放窗口以下至多为 $2(\log2) n\epsilon^{-2}$，而在该缩放窗口以上至多为 $O(\epsilon 2^n)$。本文中，我们证明对于 $p - p_c(n) \geq e^{-cn^{1/3}}$，最大簇的大小至少为 $\Theta(\epsilon 2^n)$，与上限同阶。这提供了对相变远超先前作者所得的理解。证明基于一种被称为“ sprinkling（洒水）”的方法，并严重依赖于 $n$-立方的特定几何。