临界窗中的三角形下尾部问题

我们研究随机图 $G(n,p)$ 中三角形自由的概率。当 $p =o(n^{-1/2})$ 或 $p = \omega(n^{-1/2})$ 时，该概率对数 logarithm 的渐近形式已通过 Janson 不等式或正规化/超图容器方法得到。我们首次在 $p = c n^{-1/2}$ 且 $c$ 为足够小的常数时，求出该概率对数的渐近公式。更一般地，我们研究三角形的下尾大偏差问题：即当 $p = c n^{-1/2}$ 且 $c$ 和 $\eta \in [0,1)$ 为常数时，$G(n,p)$ 中三角形数量最多为其期望值的 $\eta$ 倍的概率。我们的结果在 $\eta \ge .4993$ 时适用于所有 $c$，而在 $c$ 足够小时适用于其他情况。对于较小的 $\eta$（包括三角形自由的情况），我们证明当 $c$ 变化时会发生相位转变，即速率函数的非解析性；而对于 $\eta \ge .4993$，我们证明不存在相位转变。另一方面对于随机图 $G(n,m)$，其中 $m = b n^{3/2}$，我们显示当 $b$ 变化时，在三角形的下尾问题中会发生相位转变，且适用于所有 $\eta \in [0,1)$。我们的方法涉及算法和统计物理中的配料，包括聚类展开和关于收缩马尔可夫链的浓度不等式。