Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图 $G(n,m)$ 中三角形计数的中度偏差：下尾

设 $N_{\triangle}(G)$ 为图 $G$ 中三角形的数量。在文献 [14] 和 [25] 中，分别证明了稠密 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图 $G_m\sim G(n,m)$ 中三角形计数下尾行为的以下界：$$\mathbb{P}\big(N_{\triangle}(G_m) \, < \, (1-\delta)\mathbb{E}[N_{\triangle}(G_m)]\big) \,=\, \exp\left(-\Theta\left(\delta^2n^3\right)\right) \qquad \text{如果 $n^{-3/2}\ll \delta\ll n^{-1}$}$$ 和 $$\mathbb{P}\big(N_{\triangle}(G_m) \, < \, (1-\delta)\mathbb{E}[N_{\triangle}(G_m)]\big) \,=\, \exp\left(-\Theta(\delta^{2/3}n^2) \right) \qquad \text{如果 $n^{-3/4} \ll \delta \ll 1$。}$$ Neeman, Radin 和 Sadun [25] 还猜想，在“缺失区间” $n^{-1}\ll \delta\ll n^{-3/4}$ 内，该概率应具有 $\exp\left(-\Theta\left(\delta^2n^3\right)\right)$ 的形式。我们证明了这一猜想。作为证明的一部分，我们还证明了一些与度数和共度数相关的随机图统计量以高概率服从正态分布。