圈数统计中的中偏差

我们证明了 $\calG(n, m)$ 随机图中奇圈数量的左尾中偏差界。我们表明，当 $n^{-3/4} \ll t^3 \ll 1$ 时，三角形密度下降 $t^3$ 的概率为 $\exp(-\Theta(n^2 t^2))$；而对于 $k \ge 5$，在更大范围 $n^{-1} \ll t^k \ll 1$ 内，我们给出了 $k$-圈密度下降 $t^k$ 的相同估计。当 $m \ge \frac 12 \binom n2$ 时，我们还求出了指数中的首项系数。这补充了 Goldschmidt 等人的结果，他们证明了对于 $n^{-3/2} \ll t^k \ll n^{-1}$，概率为 $\exp(-\Theta(n^3 t^{2k}))$。即，小于 $n^{-1}$ 量级的偏差表现为小偏差，大于 $n^{-3/4}$（三角形）或 $n^{-1}$（$k \ge 5$ 的 $k$-圈）量级的偏差表现为大偏差。对于三角形，我们猜想两个 regime 之间的急剧变化发生在 $n^{-3/4}$ 量级的偏差处，我们将其与邻接矩阵的单个大负特征值几乎负责所有圈缺失相关联。我们的结果可解释为约束随机图中相变的有限尺寸效应。