常平均度随机图中三角形个数的上尾行为

设 $N$ 为顶点数 $n$、边密度 $p=d/n$ 的 Erdős-Rényi 图 $\mathcal{G}(n,p)$ 中的三角形个数，其中 $d>0$ 为固定常数。众所周知，当 $n\rightarrow \infty$ 时 $N$ 弱收敛于均值为 ${d^3}/{6}$ 的泊松分布。我们研究 $N$ 的上尾问题，即考察 $k$ 必须以多快速度增长，使得事件 $\{N\ge k\}$ 的概率不再能由相应泊松变量的尾部分布良好近似。我们证明了尾部呈现尖锐相变，并本质上表明：仅当 $k^{1/3} \log k< (\frac{3}{\sqrt{2}})^{2/3} \log n$（亚临界区）时上尾由泊松行为主导，同时确定了当 $k^{1/3} \log k> (\frac{3}{\sqrt{2}})^{2/3} \log n$（超临界区）时的尾部行为。我们进一步证明了一个结构定理，表明亚临界上尾行为由近似 $k$ 个顶点不交三角形的出现所支配，而在超临界区中，多余的三角形源于大小约为 $(6k)^{1/3}$ 的团状结构。这解决了该情形下长期存在的上尾问题，回答了 Aldous 的一个问题，并补充了跨越数十年的长系列工作——其顶点为 (Harel, Moussat, Samotij,'19) 仅分析了 $p\gg \frac{1}{n}$ 区制下的该问题。证明依赖于若干可能具有其他应用的新型图论结果。