稀疏 Erdős-Rényi 图谱半径的上尾

我们考虑具有 $n$ 个顶点、边概率为 $p$ 的 Erdős-Rényi 图 $\mathbb{G}(n,p)$，其中 $p$ 满足 $$\sqrt{\frac{\log n}{\log \log n}} \ll np \le n^{1/2-o(1)}, \label{eq:abs} \tag{$\dagger$}$$ 并推导其邻接矩阵最大特征值 $\lambda(\mathbb{G}(n,p))$ 的上尾大偏差。在此区间内我们证明，对于 $p \gg n^{-2/3}$，$\lambda(\mathbb{G}(n,p))$ 上尾事件的 $\log$-概率等于（忽略低阶项）植入一个适当大小团的上尾概率，而对于 $p \ll n^{-2/3}$，该概率由存在高 degree 顶点给出。这特别地显示了在后一区间中「非植入局部结构」的出现。我们还确认在整个区间 \eqref{eq:abs} 内，大偏差概率被平均场变分问题的解渐近逼近，并进一步在 $p$ 的某个子区间内识别了以 $\lambda(\mathbb{G}(n,p))$ 上尾事件为条件的 $\mathbb{G}(n,p)$ 的典型结构。对于满足 $\log(np) \gtrsim \log n$ 的 $p$，$\lambda(\mathbb{G}(n,p))$ 的大偏差由 ${\rm Hom}(C_{2t}, \mathbb{G}(n,p))$（长度为 $2t$ 的圈的同态计数，其中 $t \ge 3$ 且 $n^{1/2-o(1)} \ge np \gg n^{1/t}$）的大偏差推出。在后一区间内，我们识别了以 ${\rm Hom}(C_{2t}, \mathbb{G}(n,p))$ 上尾为条件的 $\mathbb{G}(n,p)$ 的典型结构，并建立了平均场逼近的渐近紧性。