关于稀疏随机图中上尾的变分问题

在边密度为 $p$ 的 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图 $\mathcal{G}_{n,p}$ 中，三角形数量至少为其均值两倍的概率是多少？将其写为 $\exp[- r(n,p)]$，当 $p=o(1)$ 时，速率函数 $r(n,p)$ 的阶数曾是一个长期未决的问题，直到 2012 年由 Chatterjee 以及 DeMarco 和 Kahn 分别解决，他们独立证明了对于 $p \gtrsim \frac{\log n}n$，有 $r(n,p)\asymp n^2p^2 \log (1/p)$；但 $r(n,p)$ 的精确渐近性仍然未知。以下变分问题可与 $p\gtrsim \frac{\log n}n$ 时的这一大偏差问题相关联：对于固定的 $\delta>0$，在 $n$ 个顶点上且三角形密度至少为 $(1+\delta)p^3$ 的加权图中，最小的渐近 $p$-相对熵是多少？Chatterjee 和 Varadhan (2011) 提出的一个优美的大偏差框架将三角形的上尾归约为固定 $p$ 下该问题的极限版本。Chatterjee 和 Dembo 最近的一项突破性进展将其有效性扩展到了 $n^{-\alpha}\ll p \ll 1$（对于某个明确的 $\alpha>0$），并且合理地推测它在上述整个稀疏区域都成立。在本文中，我们证明了当 $n^{-1/2}\ll p \ll 1$ 时，该变分问题的解为 $\min\{\frac12 \delta^{2/3}\,,\, \frac13 \delta\}$，而当 $n^{-1} \ll p\ll n^{-1/2}$ 时解为 $\frac12 \delta^{2/3}$（这些区域之间的过渡体现在最小化器中三角形减去一条边的计数中）。根据 Chatterjee 和 Dembo 的结果，这表明例如对于 $n^{-\alpha} \leq p \ll 1$，$\mathcal{G}_{n,p}$ 拥有两倍于其期望值的三角形的概率为 $\exp[-r(n,p)]$，其中 $r(n,p)\sim \frac13 n^2 p^2\log(1/p)$。我们的结果进一步推广到任意固定 $k$ 的 $k$-团，并给出了当 $p\geq n^{-\alpha}$ 时任意固定子图的上尾速率函数的阶。