关于随机图中大偏差的复制对称性

以下问题由 Chatterjee 和 Varadhan (2011) 提出。固定 $0<p<r<1$ 并取 $G\sim G(n,p)$，即边密度为 $p$ 的 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图，条件是其三角形数量至少与典型的 $G(n,r)$ 一样多。$G$ 是否在割距离上接近典型的 $G(n,r)$？通过 $G(n,p)$ 中大偏差原理的一个优美新框架，Chatterjee 和 Varadhan 给出了复制对称相（即答案为正的 $(p,r)$ 区域）的界限。他们进一步表明，对于任何足够小的 $p$，随着 $r$ 的变化至少存在两个相变。我们通过识别三角形以及更一般地任何固定 $d$-正则图的复制对称相来解决这个问题。通过分析源自 Chatterjee 和 Varadhan 框架的变分问题，我们表明复制对称相由所有满足 $(r^d,h_p(r))$ 位于 $x\mapsto h_p(x^{1/d})$ 的凸下包络线上的 $(p,r)$ 组成，其中 $h_p$ 是参数为 $p$ 的二项分布的速率函数。特别是，三角形的答案涉及 $h_p(\sqrt{x})$ 而非此前已知对称性时的自然猜测 $h_p(x^{1/3})$。类似结果也适用于线性超图，以及 $G\sim G(n,p)$ 的最大特征值被条件化为超过 $G(n,r)$ 最大特征值典型值的情形。基于 Chatterjee 和 Diaconis (2012) 的工作，我们获得了一类指数随机图的额外结果，包括出现对称性破缺的新参数范围。在此过程中，我们给出了 Kahn (2001) 以及 Galvin 和 Tetali (2004) 提出的图同态不等式的简短替代证明。