泊松 regime 下正则子图计数的预极限尾部行为中的普适性

设$N$为Erd\H{o}s-R\'enyi图$G \sim \mathcal{G}(n, p_n)$中小子图$H$的副本数，其中$p_n \to 0$的选取使得$\mathbb{E} N = c$（常数）。Bollob\'as的结果表明，对于正则图$H$，计数$N$弱收敛于泊松随机变量。对于大但有限的$n$，且针对三角形这一具体情况，Ganguly、Hiesmayr与Nam（2022）对上尾部$\mathbb{P}(N \geq k_n)$的研究揭示了尾部行为及关联机制中存在相变。较小的$k_n$值对应于$H$的不相交出现，导致泊松尾部；当$k_n$较大时，由几乎团的出现引导，涌现出不同行为。我们证明当$H$为任意正则图时，在$k_n^{1 -2/q}\log k_n = \log n$处（$q$为$H$中顶点数）也发生类似相变。这确立了该相变的普适性，此前仅知三角形情形。