随机二部图的亏格

Archdeacon与Grable(1995)证明了若$p=p(n)\geq3(\ln n)^2n^{-1/2}$,则随机图$G\in\mathcal{G}_{n,p}$的亏格几乎必然接近于$pn^2/12$。本文中我们证明了$\mathcal{G}_{n_1,n_2,p}$中随机二部图的类似结果。若$n_1\ge n_2 \gg 1$,则当$p=\Theta((n_1n_2)^{-\frac{i}{2i+1}})$时,对每个正整数$i$都会发生相变。当二部图的一侧具有常数规模,即$n_1\gg1$且$n_2$为常数时,表现出不同行为。该情形下,相变发生于$p=\Theta(n_1^{-1/2})$与$p=\Theta(n_1^{-1/3})$时。