稀疏随机二部图的平面性与亏格

二项随机图 $G(n,p)$ 的亏格在很广的 $p=p(n)$ 范围内已得到充分理解。最近，Mohar 和 Ying 开始了对随机二部图 $G(n_1,n_2,p)$（其划分类大小为 $n_1$ 和 $n_2$）亏格的研究，他们证明了当 $n_1$ 和 $n_2$ 大小可比且 $p=p(n_1,n_2)$ 显著大于 $(n_1n_2)^{-\frac{1}{2}}$ 时，随机二部图的亏格与二项随机图具有相似的行为。本文证明了随机二部图的平面性在 $p=(n_1n_2)^{-\frac{1}{2}}$ 处存在阈值，并研究了该阈值附近的亏格，推广了 Mohar 和 Ying 的结果。结果表明，在 $n_1$ 和 $n_2$ 大小可比的情况下（此时以高概率亏格与边数呈线性关系）与 $n_1$ 渐近小于 $n_2$ 的情况下（此时以高概率亏格表现得像适当选取 $q=q(p,n_1,n_2)$ 的稀疏随机图 $G(n_1,q)$ 的亏格），两者存在定性的不同行为。