随机二部图的着色与相依平面匹配

本文研究随机二部图中与平面匹配相关的两个问题。首先，将完全二部图 $K_{n,n}$ 的每条边从 ${r}$ 种颜色中均匀随机着色，并证明若 ${r}$ 随 ${n}$ 线性增长，则以高概率（即当 ${n \rightarrow \infty}$ 时概率收敛于1）最大彩虹匹配占 ${r}$ 的非平凡比例。接着，考虑相依设定下的平面匹配，其中每个顶点被迫从所有可能选择中恰好选择一个邻居。我们获得了平面匹配最大规模的估计，并讨论了结果对扩大的随机排列中最长递增子序列的启示。