关于二部完全图中交替路径的数量

设 $C \subseteq [r]^m$ 为一个码，使得 $C$ 中任意两个码字具有至少 $t$ 的汉明距离。不难看到，确定具有最大码字数的码 $C$ 等价于找到最大的 $n$，使得存在 $K_{m, n}$ 的一个 $r$-边着色，具有如下性质：在大小为 $n$ 的部中的任意一对顶点至少有 $t$ 条长度为 $2$ 的交替路径（相邻边颜色不同）。本文中我们考虑一个更一般的问题，从略微不同的方向入手。我们感兴趣的是找到最大的 $t$，使得存在 $K_{m,n}$ 的一个 $r$-边着色，使得大小为 $n$ 的部中的任意一对顶点由 $t$ 条内部不相交且长度为 $2k$ 的交替路径连接。我们还研究了一个相关问题，其中我们去掉路径内部不相交的假设。最后，我们引入了一个称为交替连通性的新概念。我们的证明利用了随机着色结合一些整数规划。