完全二部图中的局部着色与单色划分

我们证明，对于平衡完全二部图 $K_{n,n}$ 边的任意 $2$-局部着色，其顶点可以被至多 $3$ 条不相交的单色路径覆盖。此外，我们可以用 $O(r^2)$ 条不相交的单色圈覆盖任意完全或平衡完全二部 $r$-局部着色图的几乎所有顶点。\ 我们还几乎精确地确定了路径的 $2$-局部二部 Ramsey 数：$K_{n,n}$ 边的任意 $2$-局部着色都包含一条具有 $n$ 个顶点的单色路径。