随机 MAX SAT、随机 MAX CUT 及其相变

给定一个由 $n$ 个变量与 $\cn$ 个随机子句构成的 2-SAT 公式 $F$，单个变量赋值所能满足的子句最大数目 $\max F$ 是多少？我们将其答案限定于平凡界 $(3/4)cn$ 与 $cn$ 之外。我们证明：对 $c<1$，可满足子句的期望数目为 $\cn-\Theta(1/n)$；对较大的 $c$，其为 $((3/4)c + \Theta(\sqrt{c}))n$；对 $c = 1+\eps$，其至少为 $(1+\eps-O(\eps^3))n$ 且至多为 $(1+\eps-\Omega(\eps^3/\ln \eps))n$；而在“标度窗口” $c= 1+\Theta(n^{-1/3})$ 中，其为 $cn-\Theta(1)$。特别地，正如判定问题经历相变，我们的优化问题也在同一临界值 $c=1$ 处经历相变。我们几乎全部的结果均在未参照判定 2-SAT 的类似命题下建立，并且作为副产品我们复现了其中许多结果，包括关于 2-SAT 标度窗口的已知内容。我们考虑 MAX-2-SAT 的“在线”版本，并证明对其中一个版本，显然的贪婪算法是最优的。我们仅能将最简单的 MAX-2-SAT 结果推广到 MAX-k-SAT，但我们猜想一个“MAX-k-SAT 极限函数猜想”，类似于民间的可满足性阈值猜想，但对 $k=2$ 也仍为开问题。两个猜想均不立即蕴含另一个，但很自然地进一步猜想它们之间存在联系。最后，对随机 MAXCUT（稀疏随机图中最大割的大小）我们证明了类似的结果。