超出变量数目的可满足性的固定参数易处理性

我们将 CNF 公式 $F$ 视为子句的多重集：$F=\{c_1,..., c_m\}$。$F$ 的变量集记为 $V(F)$。令 $B_F$ 表示二分图，其部分集为 $V(F)$ 和 $F$，且当 $v \in c$ 或 $\bar{v} \in c$ 时，$v \in V(F)$ 与 $c \in F$ 之间存在一条边。$F$ 的匹配数 $\nu(F)$ 是 $B_F$ 中最大匹配的大小。在我们的主要结果中，我们证明了 {\sc MaxSat} 的以下参数化（记为 $(\nu(F)+k)$-\textsc{SAT}）是固定参数易处理的：给定一个公式 $F$，判断是否可以满足 $F$ 中至少 $\nu(F)+k$ 个子句，其中 $k$ 是参数。如果 $\nu(F)=|V(F)|$，则称公式 $F$ 为变量匹配公式。令 $\delta(F)=|F|-|V(F)|$ 且 $\delta^*(F)=\max_{F'\subseteq F} \delta(F')$。我们的主要结果意味着对于变量匹配公式 $F$，以 $\delta(F)$ 为参数的 {\sc MaxSat} 具有固定参数易处理性；这补充了 Kullmann (2000) 和 Szeider (2004) 关于以 $\delta^*(F)$ 为参数的 {\sc MaxSat} 的相关结果。为了获得我们的主要结果，我们将 $(\nu(F)+k)$-\textsc{SAT} 归约为 {\sc Hitting Set} 问题的以下参数化（记为 $(m-k)$-{\sc Hitting Set}）：给定基集 $U$（包含 $n$ 个元素）的 $m$ 个子集的集合 $\cal C$，判断是否存在 $X\subseteq U$，使得对于每个 $C\in \cal C$ 都有 $C\cap X\neq \emptyset$ 且 $|X|\le m-k$，其中 $k$ 是参数。Gutin, Jones 和 Yeo (2011) 通过获得该问题的指数核证明了 $(m-k)$-{\sc Hitting Set} 是固定参数易处理的。我们为 $(m-k)$-{\sc Hitting Set} 获得了两种算法：一种运行时间为 $O((2e)^{2k+O(\log^2 k)} (m+n)^{O(1)})$ 的确定性算法，以及一种期望运行时间为 $O(8^{k+O(\sqrt{k})} (m+n)^{O(1)})$ 的随机化算法。我们的确定性算法改进了由 Gutin, Jones 和 Yeo (2011) 的核化结果导出的算法。