以割集大小为参数、含三对终端的有向多割的固定参数可处理性：双宽度遇见流增强

我们展示了含三对终端的有向多割问题（使用随机算法）的固定参数可处理性。该问题给定有向图 $G$、顶点对（称为终端）$(s_1,t_1)$、$(s_2,t_2)$ 和 $(s_3,t_3)$ 以及整数 $k$，要求找到 $G$ 中至多 $k$ 个非终端顶点组成的集合，与所有 $s_1t_1$-路径、所有 $s_2t_2$-路径以及所有 $s_3t_3$-路径均相交。该情形的参数化复杂性自 Chitnis、Cygan、Hajiaghayi 和 Marx 在 SODA 2012 证明 2-终端对情形的固定参数可处理性，以及 Pilipczuk 和 Wahlstr\"{o}m 在 SODA 2016 证明 4-终端对情形的 W[1]-hardness 以来一直开放。在技术层面，我们使用了参数化算法中的两项近期进展。利用有向流增强技术 [Kim, Kratsch, Pilipczuk, Wahlstr\"{o}m, STOC 2022]，我们将该问题转化为在一个大有序域上含少量变量与约束的 CSP 问题。我们观察到该问题又可被编码为在一个由若干 0-1 矩阵构成的结构上的 FO 模型检测任务。我们通过双宽度（twin-width，一种近期引入的结构参数 [Bonnet, Kim, Thomass\'{e}, Watrigant, FOCS 2020]）的视角审视该问题：根据近期刻画 [Bonnet, Giocanti, Ossona de Mendes, Simon, Thomass\'{e}, Toru\'{n}czyk, STOC 2022]，若所述矩阵具有有界网格秩，则上述 FO 模型检测任务可在 FPT 时间内完成。为完成证明，我们给出一条无关顶点规则：若上述编码中任一矩阵具有大网格子式，则对应于网格子式中“中间”盒子的顶点可被宣告为无关——即不包含于所求解中——从而被约简。