固定参数有向 Steiner 网络问题的复杂性全景

给定有向图 $G$ 和一组终端对列表 $(s_1,t_1),\dots,(s_d,t_d)$，有向 Steiner 网络问题要求寻找 $G$ 的一个最小成本子图，使得对于每个 $1\le i \le k$，该子图都包含一条有向 $s_i\to t_i$ 路径。已知特例有向 Steiner 树（当要求从根节点 $r$ 到终端 $t_1,\dots,t_d$ 的路径时）以终端数量为参数是固定参数可解的，而特例强连通 Steiner 子图（当要求从每个 $t_i$ 到每个其他 $t_j$ 都存在路径时）则是 W[1]-困难的。我们系统地探索了有向 Steiner 问题的复杂性全景，以全面了解哪些其他特例是 FPT 或 W[1]-困难的。形式上，如果 $\mathcal{H}$ 是一个有向图类，我们考察有向 Steiner 网络问题的特例，其中请求列表 $(s_1,t_1),\dots,(s_d,t_d)$ 构成的有向图是 $\mathcal{H}$ 的一个成员。我们的主要结果是对导致固定参数可解特例的图类 $\mathcal{H}$ 进行了完整刻画：我们证明，如果 $\mathcal{H}$ 中的每个模式都具有“传递等价于具有有限数量额外边的有限长度毛毛虫图”的组合性质，则该问题是 FPT 的；而对于每一个不具有此性质的递归可枚举 $\mathcal{H}$，该问题都是 W[1]-困难的。这一完整的二分法统一并推广了已知结果，即有向 Steiner 树是 FPT 的 [Dreyfus and Wagner, Networks 1971]，$q$-根 Steiner 树对于常数 $q$ 是 FPT 的 [Suchý, WG 2016]，强连通 Steiner 子图是 W[1]-困难的 [Guo et al., SIAM J. Discrete Math. 2011]，以及有向 Steiner 网络对于常数数量的终端是多项式时间可解的 [Feldman and Ruhl, SIAM J. Comput. 2006]，此外还揭示了大量以前未知的可解情况。