斯坦纳网络问题关于终端数的复杂度

在有向斯坦纳网络问题中，给定一个弧加权有向图 $G$、一组终端 $T \subseteq V(G)$，以及一个（未加权的）有向请求图 $R$，其中 $V(R)=T$。我们的任务是输出一个最小代价的子图 $G' \subseteq G$，使得对所有 $st \in A(R)$，在 $G'$ 中存在从 $s$ 到 $t$ 的有向路径。已知该问题可在时间 $|V(G)|^{O(|A(R)|)}$ 内求解 [Feldman&Ruhl, SIAM J. Comput. 2006]，且即使 $G$ 是平面的，除非指数时间假设（ETH）不成立，否则无法在时间 $|V(G)|^{o(|A(R)|)}$ 内求解 [Chitnis et al., SODA 2014]。然而，由于该归约（以及其他显示问题困难性的归约）仅表明除非 ETH 不成立，否则问题无法在时间 $|V(G)|^{o(|T|)}$ 内求解，关于指数中 $|T|$ 的复杂度存在显著缺口。我们证明有向斯坦纳网络可在时间 $f(R)\cdot |V(G)|^{O(c_g \cdot |T|)}$ 内求解，其中 $c_g$ 是仅依赖于 $G$ 的亏格的常数，$f$ 是可计算函数。我们补充该结果，证明对于一般图上的该问题，除非 ETH 不成立，否则对任意函数 $f$ 都不存在 $f(R)\cdot |V(G)|^{o(|T|^2/ \log |T|)}$ 算法。