平面强连通斯坦纳子图在固定终端数下的紧界（及扩展）

（完整摘要见论文）给定一个顶点加权有向图 $G=(V,E)$ 和一组 $k$ 个终端 $T=\{t_1, t_2, \ldots t_k\}$，SCSS 问题的目标是找到一个最小权重的顶点集 $H\subseteq V$，使得 $G[H]$ 对每个 $i\neq j$ 都包含一条 $t_{i}\rightarrow t_j$ 路径。该问题是 NP-难的，但 Feldman 和 Ruhl [FOCS '99; SICOMP '06] 给出了 SCSS 问题的一个新颖的 $n^{O(k)}$ 算法，其中 $n$ 是图中顶点数，$k$ 是终端数。我们探究该问题在平面有向图上会变得容易多少：- 我们的主要算法结果是平面 SCSS 的一个 $2^{O(k)}\cdot n^{O(\sqrt{k})}$ 算法，相较 Feldman 和 Ruhl 的算法在指数上改进了 $O(\sqrt{k})$ 的因子。- 我们的主要困难性结果是我们算法的匹配下界：我们证明平面 SCSS 对任何可计算函数 $f$ 都不存在 $f(k)\cdot n^{o(\sqrt{k})}$ 算法，除非指数时间假设（ETH）不成立。以下附加结果将我们的上下界置于背景中：- 在一般图上，我们无法期望相对于 Feldman 和 Ruhl 的 $n^{O(k)}$ 算法有如此显著的改进：假设 ETH，一般图上的 SCSS 对任何可计算函数 $f$ 都不存在 $f(k)\cdot n^{o(k/\log k)}$ 算法。- Feldman 和 Ruhl 将其 $n^{O(k)}$ 算法推广到更一般的定向斯坦纳网络（DSN）问题；此处任务是找到最小权重的子图，使得对每个源 $s_i$ 都存在一条到对应终端 $t_i$ 的路径。我们证明，假设 ETH，在无环平面图上 DSN 不存在 $f(k)\cdot n^{o(k)}$ 时间算法。