交通网络中 k-Center 问题的参数化困难性

本文研究在建模交通网络的输入上 $k$-Center 问题的困难性。对于该问题,给定带边长度的图 $G=(V,E)$ 和整数 $k$,需要选取中心集 $C\subseteq V$ 使得 $|C|\leq k$。目标是最小化图中任意顶点到最近中心的最大距离。该问题出现在物流的许多应用中,因此考虑建模交通网络的输入是自然的。此类输入通常假设为平面图、低翻倍度量或受限公路维数图。对于这些模型中的每一个,均已证明存在参数化近似算法。我们通过证明 $k$-Center 问题在常数翻倍维数的平面图上是 W[1]-困难的来补充这些结果,其中参数为中心数 $k$、公路维数 $h$ 和路径宽度 $p$ 的组合。此外,在指数时间假设下,对于任意可计算函数 $f$,不存在 $f(k,p,h)\cdot n^{o(p+\sqrt{k+h})}$ 时间算法。因此,即使假设输入图同时遵守上述所有交通网络模型,也不太可能高效地找到 $k$-Center 的最优解!此外,我们给出了一个针对翻倍维数 $d$ 输入的简单参数化 $(1+\varepsilon)$-近似算法,其运行时间为 $(k^k/\varepsilon^{O(kd)})\cdot n^{O(1)}$。这推广了先前考虑 $D$ 维 $L_q$ 度量输入的结果。