以骨架维数参数化的 k-Center 问题的 W[1]-困难性

在 $k$-Center 问题中，给定带正边权的图 $G=(V,E)$ 与整数 $k$，目标是选取 $k$ 个中心顶点 $C \subseteq V$，使任意顶点到最近中心顶点的最大距离最小化。在一般图上，该问题是 NP-hard 且不能被近似到小于 $2$ 的因子。$k$-Center 问题的典型应用见于物流或城市规划，因此自然地可在交通网络上研究该问题。此类网络常刻画为（近似）平面图或具有低翻倍维数、公路维数或骨架维数的图。Feldmann 与 Marx 已证明，当以中心数 $k$、公路维数 $hd$ 与路径宽 $pw$ 参数化时，$k$-Center 在常数翻倍维数的平面图上为 W[1]-困难的。我们推广了其结果，表明即便额外以骨架维数 $\kappa$ 参数化，$k$-Center 问题仍为 W[1]-困难。此外，我们证明在指数时间假设下，不存在对任意可计算函数 $f$ 满足运行时间 $f(k,hd,pw,\kappa) \cdot \vert V \vert^{o(pw + \kappa + \sqrt{k+hd})}$ 的 $k$-Center 精确算法。