图上不确定点的 k-中心问题

本文研究图上不确定点的 $k$-中心问题。给定无向图 $G = (V, E)$ 和由 $n$ 个不确定点组成的集合 $\mathcal{P}$，其中每个不确定点具有非负权重，在 $G$ 上有 $m$ 个可能位置，每个位置关联概率。该问题旨在找到 $k$ 个中心（点）于 $G$ 上，以最小化不确定点到其最近中心的加权期望距离。目前尚无关于图上不确定点 $k$-中心问题的文献。我们提出 exact 算法分别求解 $k=2$ 的情况（时间复杂度 $O(|E|^2m^2n\log |E|mn\log mn)$）和 $k\geq 3$ 的问题（时间复杂度 $O(\min\{|E|^km^kn^{k+1}k\log |E|mn\log m, |E|^kn^\frac{k}{2}m^\frac{k^2}{2}\log |E|mn\})$），前者需给定距离矩阵 $G$。此外，给出一种 $O(|E|mn\log mn)$ 时间的单中心问题算法。