随机 MAX-NAE-SAT 中 1RSB 的破裂

对于若干随机约束满足问题模型，物理学家曾猜想且后来证明会发生尖锐的可满足性相变。对于随机 $k$-SAT 及相关模型，这发生在子句密度 $\alpha$ 约为 $2^k$ 处。就在阈值下方，进一步的结果表明解空间具有“1RSB”结构，即在变量赋值空间 $\{0,1\}^N$ 内存在大量有界数量的近正交簇。在不满足 regime 中，自然要考虑最大可满足性：违反最少数量的约束。对于一个简化变体，即强反驳问题，有强有力的证据表明算法相变发生在 $\alpha = N^{k/2-1}$ 附近。对于 $N$ 有界的 $\alpha$，Achlioptas、Naor 和 Peres（2007）获得了最大可满足性值的非常精确的估计，但它不足以尖锐地指示能量景观的性质。后来的工作（Sen, 2016; Panchenko, 2016）表明，对于非常大的 $\alpha$（大致在 $64^k$ 以上），最大可满足性值趋近于平均场（完全图）极限：这被猜想具有“FRSB”结构，其中近最优构型在 $\{0,1\}^N$ 内形成簇中簇，处于无限深度的超度量层级中。若干近期工作表明 FRSB 的更强形式具有算法含义（同样在完全图中）。因此我们觉得理解该模型如何从可满足性阈值附近的 1RSB 过渡到大 $\alpha$ 时的（猜想的）FRSB 是有意义的。在本文中，我们证明在随机正则 $k$-NAE-SAT 模型中，1RSB 描述已在 $\alpha \asymp 4^k/k^3$ 以上破裂。这通过 2RSB 参数空间中的显式扰动证明，其灵感来自物理学家提出的“bug proliferation”机制（Montanari and Ricci-Tersenghi, 2003; Krzakala, Pagnani, and Weigt, 2004）。