随机正则 NAE-SAT 的一步副本对称破缺 I

在一大类稀疏随机约束满足问题（CSP）中，来自统计物理的深层启发式预测：在可满足性阈值之前存在一个由一步副本对称破缺（1RSB）主导的凝聚相变。事实上，在随机正则 k-NAE-SAT（此类随机 CSP 之一）中，已验证 \cite{ssz22} 其自由能良定义且显式值符合 1RSB 预测。然而，对于任意稀疏随机 CSP 模型，其解空间是否确实如 1RSB 预测那样凝聚在 O(1) 个簇上一直未知。本文对随机正则 k-NAE-SAT 模型给出肯定回答。即我们证明以不趋于零的概率，大多数解位于有界个数的解簇内，这些簇的大小与自由能尺度相当。此外，我们确立两个独立抽取解之间的重叠恰好集中在两个值上。我们的证明基于对自旋系统的细致矩分析，该系统具有编码解簇结构的无限自旋空间。我们相信该方法适用于 1RSB 普适类中的广泛随机 CSP。