随机XORSAT公式的解集

异或可满足性问题（XORSAT）要求找到对$n$个布尔变量的赋值，以满足$m$个异或（XOR）子句，其中每个子句约束变量的一个子集。我们考虑随机XORSAT实例，这些实例从包含$n$个变量和$m$个大小为$k$的子句的公式集合中均匀随机抽取。该模型在结构上与许多其他约束满足问题集合（如$k$-可满足性问题（$k$-SAT）、超图双着色和图着色）存在若干相似之处。对于其中许多集合，随着每个变量的约束数量增加，解集碎裂成指数级数量的良好分离的组件。这一现象似乎与解决此类问题的随机实例的难度有关。我们证明了随机$k$-XORSAT的这种聚类相变的完整刻画。特别地，我们证明了聚类阈值是尖锐的，并确定了其确切位置。我们证明了在此阈值以下，解集具有大电导率，而在同一阈值以上，每个簇具有大电导率。我们的证明为解集（或簇内的子集）构造了一个非常稀疏的基。这种构造与$k$-XORSAT实例关联的超图的特定子图的构造密切相关。为了研究此类子图，我们为它们建立了新的局部弱收敛结果。