优化问题的理论分析——随机 k-SAT 与 k-XORSAT 的若干性质

本论文分为两部分。第一部分概述了无序系统统计力学及其在随机组合优化问题中的应用方面的已知结果。第二部分讨论了两项原创性结果。第一项结果涉及随机 k-XORSAT 的 DPLL 启发式算法，该问题等价于稀释 Ising p-自旋模型。众所周知，DPLL 无法在问题的聚类相（clustered phase）中找到基态，即它以概率 1 导致矛盾。然而，目前尚无坚实的论据支持这一结论具有普适性。本文引入并研究了一类启发式算法，其中包括著名的 UC 和 GUC。结果表明，若子句与变量的比率大于某个常数，则此类中的任何启发式算法必然失效；该常数取决于具体的启发式算法，但始终小于聚类阈值。第二项结果涉及大子句与变量比率下随机 k-SAT 的性质。在此机制下，众所周知，随机实例的均匀分布由不可满足实例主导。本文引入了一种基于复本法（Replica method）的通用技术，将分布限制在具有均匀权重的可满足实例上，并利用该技术刻画其解的特征。研究发现，在子句与变量比率趋于极大的极限下，可满足随机 k-SAT 公式的均匀分布渐近等于被广泛研究的植入分布（Planted distribution）。这两项结果已发表并可在 arXiv:0709.0367 和 arXiv:cs/0609101 获取，此处提供了更详细且自包含的推导过程。