随机 3-Satisfiability 实例回溯求解的启发式平均情况分析

本文分析了使用回溯算法求解随机 3-Satisfiability（SAT）实例的平均情况复杂度。我们首先在一个基于统计物理学中动态轨迹、相图和生长过程概念的统一框架下解释了先前的严格工作。我们论证了在 Davis--Putnam--Loveland--Logemann（DPLL）算法的作用下，3-SAT 实例被转化为 2+p-SAT 实例，其特征参数（子句与变量的比率 alpha，3-子句的比例 p）可以在运行过程中被跟踪，并定义了求解轨迹。根据轨迹在 2+p-SAT 模型相图中的位置，会生成简单（多项式）或困难（指数级）的求解。根据待求解 3-SAT 实例的比率 alpha，我们识别出三种情况。下可满足阶段：对于较小的比率，DPLL 几乎必然能在随变量数 N 线性增长的时间内找到解。上可满足阶段：对于中间比率，实例几乎必然是可满足的，但找到解以高概率需要指数级时间（2 ^ (N omega) 且 omega>0）。不可满足阶段：对于较大的比率，几乎总是无解，且反证证明是指数级的。本文对上可满足和不可满足两种情况下搜索树的生长进行了分析，使我们能够将 omega 估计为 alpha 的函数。该分析基于搜索树平均规模与编码搜索启发式基本步骤的演化算子幂之间的精确关系。