关于 MAX NAE-SAT 的未解之谜

MAX NAE-SAT 是一个自然的优化问题，与其更为知名的亲属 MAX SAT 密切相关。若所有子句具有相同大小 $k$（$k\ge 2$ 为某整数），则 MAX NAE-SAT 的可近似性状态几乎已被完全理解。我们称此问题为 MAX NAE-$\{k\}$-SAT。当 $k=2$ 时，它本质上是著名的 MAX CUT 问题。当 $k=3$ 时，它与可被三角形分数覆盖的图中的 MAX CUT 问题相关。当 $k\ge 4$ 时，已知由随机赋值得到的 $1-\frac{1}{2^{k-1}}$ 近似比在假设 $P\ne NP$ 下是最优的。对每个 $k\ge 2$，MAX NAE-$\{k\}$-SAT 可获得至少 $\frac{7}{8}$ 的近似比。因此，曾有人期望对于允许所有大小子句同时出现的 MAX NAE-SAT 也存在 $\frac{7}{8}$-近似算法。我们的主要结果是：在唯一博弈猜想（UGC）下，MAX NAE-SAT 不存在 $\frac{7}{8}$-近似算法。事实上，即便对于 MAX NAE-$\{3,5\}$-SAT（即所有子句大小为 $3$ 或 $5$ 的 MAX NAE-SAT）的几乎可满足实例，在 UGC 假设下可达到的最佳近似比至多为 $\frac{3(\sqrt{21}-4)}{2}\approx 0.8739$。利用变分法，我们将 O'Donnell 与 Wu 对 MAX CUT 的分析推广至 MAX NAE-$\{3\}$-SAT。在 UGC 假设下，我们获得了 MAX NAE-$\{3\}$-SAT 的最优算法，较先前算法略有改进。新算法的近似比约为 $0.9089$。我们以若干实验结果补充了理论结果。我们描述了一种针对 MAX NAE-$\{3,5\}$-SAT 几乎可满足实例的近似算法，其推测近似比为 0.8728，以及一种针对 MAX NAE-SAT 几乎可满足实例的近似算法，其推测近似比为 0.8698。