k-可满足性中非全等式既诅咒又祝福

作为$k$-SAT问题的一个自然变体，NAE-$k$-SAT额外要求每个子句中的文字取非全等(NAE)真值。在本文中，我们研究了求解NAE-$k$-SAT和MAX-NAE-$k$-SAT近似的最坏情况时间复杂度，作为$k$、变量数$n$和性能比$\delta$的函数。后一问题要求找到至少最优解$\delta$倍的解。我们的主要结果包括：(1) 一种用于NAE-$k$-SAT的确定性算法，在所有$k \ge 3$上比最佳的$k$-SAT确定性算法更快。此前，已知没有NAE-$k$-SAT算法比$k$-SAT算法更快。对于$k = 3$，我们达到了$1.326^n$的上界。对应的$3$-SAT上界为$1.328^n$。(2) 一种用于MAX-NAE-$k$-SAT近似的随机算法，其上界为$(2 - \epsilon_k(\delta))^n$，其中$\epsilon_k(\delta) > 0$仅依赖于$k$和$\delta$。此前，对于$k \ge 4$的MAX-NAE-$k$-SAT近似，没有已知比平凡$2^n$更好的上界。对于$\delta = 0.9$和$k = 4$，我们达到了$1.947^n$的上界。(3) 一种用于MAX-NAE-$k$-SAT近似的确定性算法。对于$\delta = 0.9$和$k = 3$，我们达到了$1.698^n$的上界，优于MAX-NAE-$3$-SAT精确算法的上界$1.731^n$。我们的发现为以下问题提供了新见解：NAE-$k$-SAT是否比$k$-SAT更容易？答案至少在精确且确定性地求解这些问题时是肯定的，而对于$k \ge 4$近似求解MAX-NAE-$k$-SAT可能比MAX-$k$-SAT更难。