随机线性约束满足问题的线性相变

我们的模型是一个被广泛研究的随机 K-SAT 问题的广义线性规划松弛。具体地，在 K 个变量上固定一组线性约束 C。从规模为 n 的变量池中均匀随机选取 K 个变量，并从 C 中均匀随机选取一个约束。该过程独立重复 m 次。我们提出如下问题：所得的线性规划问题是否可行？我们证明，当 n 趋于无穷且 m=cn（c 为某常数）时，可行性性质经历一个线性相变。亦即，存在临界值 c*，使得当 c<c* 时，系统可行或随 n 增大渐近几乎可行；而当 c>c* 时，距可行性的“距离”至少为独立于 n 的正常数。我们的结果使用了 Aldous 与 Steele 发展的强有力的局部弱收敛方法得到。通过利用线性规划对偶，我们的定理蕴涵了如下关于具有 cn 条边、边带随机生成权重的稀疏随机图 G(n, cn) 的结果。令 M(n,c) 表示 G(n, cn) 中的最大权匹配。我们证明当 c 为常数且 n→∞ 时，极限 \lim_n M(n,c)/n 以高概率存在。我们进一步将此结果推广到 G(n,cn) 中的最大权 b-匹配。