连续时间线性时不变系统可达性的可判定性

我们考虑连续时间线性时不变控制系统中状态到状态可达性的可判定性。我们针对允许的控制集分析此问题，这些控制集被假定为单元超立方体在线性映射下的像。这自然地对有界（有时称为饱和）控制进行了建模。控制集为 $\mathbb{R}^n$ 中仿射子空间的可达性问题的可判定性是控制论中的基本结果。我们的第一个结果是：若矩阵 $A$ 满足某些谱条件，则在二维（$n=2$）下可判定，且一般情况下条件可判定。若变换矩阵 $A$ 为有理元素（或同一代数数的有理倍数）的对角矩阵，则可达性问题可判定。若变换矩阵 $A$ 仅有实特征值，则可达性问题条件可判定。时间有界可达性问题条件可判定，且在二维下无条件可判定。我们的某些可判定性结果是条件的，因为它们依赖于某些数学理论的可判定性，即带指数的实数理论（$\mathfrak{R}_{\exp}$）与带有界正弦的实数理论（$\mathfrak{R}_{\exp,\sin}$）。我们还获得了问题的一个轻微推广的困难性结果，其中目标是简单集合（维数 $n-1$ 的超立方体或超平面）而非点，且控制集为凸有界多胞体。在此情形下，我们表明该问题至少与\emph{连续正性问题}或\emph{非切连续正性问题}一样困难。