k-SAT 阈值的渐近阶

通过从所有 $2^k \binom{n}{k}$ 个可能的 k-子句中均匀且独立地选取 $m=rn$ 个子句，生成关于 n 个变量的随机 k-SAT 公式。可满足性阈值猜想断言，对于每个 k，存在常数 $r_k$，使得当 n 趋于无穷大时，若 $r < r_k$，公式可满足的概率趋于 1；若 $r > r_k$，该概率趋于 0。长期以来已知 $2^k / k < r_k < 2^k$。我们证明 $r_k > 2^{k-1} \ln 2 - d_k$，其中 $d_k \to (1+\ln 2)/2$。我们的证明还允许对可满足真值指派集合的“几何结构”进行模糊一瞥，并几乎精确地定位了非全等 (NAE) k-SAT 的阈值。