关于随机公式的最大可满足性

最大可满足性是一个典型的 NP 难优化问题，对于随机实例 empirically 显得困难。设一个由 $k$-子句组成的合取范式（CNF）公式是 $p$-可满足的，如果存在真值赋值满足所有子句的 $1-2^{-k}+p 2^{-k}$（注意到每个 $k$-CNF 都是 0-可满足的）。又令 $F_k(n,m)$ 表示在 $n$ 个变量上的随机 $k$-CNF，由从所有可能 $k$-子句中均匀且独立地选取 $m$ 个构成。容易证明对每个 $k>1$ 和每个 $p \in (0,1]$，存在 $R_k(p)$ 使得若 $r >R_k(p)$，则当 $n$ 趋于无穷时 $F_k(n,rn)$ 是 $p$-可满足的概率趋于 0。我们证明存在序列 $\delta_k \to 0$ 使得若 $r <(1-\delta_k) R_k(p)$，则当 $n$ 趋于无穷时 $F_k(n,rn)$ 是 $p$-可满足的概率趋于 1。序列 $\delta_k$ 以关于 $k$ 指数快的速度趋于 0。