弱平稳随机场泛函的渐近协方差

设 $(A_x)_{x\in\mathbb{R}^d}$ 为局部可积、零均值、弱平稳随机场，即 $\mathbb{E}[A_x]=0$，${\rm Cov}(A_x,A_y)=K(x-y)$，$\forall x,y\in\mathbb{R}^d$，具有可测协方差函数 $K:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$。仅假设 $w_t:=\int_{\{|z|\le t\}}K(z)dz$ 为正则变函数（这包含了文献中发现的经典假设），我们对属于某类紧集的 $D,L\subseteq \mathbb{R}^d$ 计算 $$\lim_{t\rightarrow\infty}{\rm Cov}\left(\frac{\int_{tD}A_x dx}{t^{d/2}w_t^{1/2}}, \frac{\int_{tL}A_y dy}{t^{d/2}w_t^{1/2}}\right)$$。作为一个应用，我们将该结果与已有的极限定理结合，得到平稳高斯场非线性泛函的多维极限定理，特别地，为 Berry 随机波模型证明了新结果。在论文末尾，我们还展示了如何将具有一般连续协方差函数 $K$ 的 $A$ 的问题归约到具有径向连续协方差函数 $K_{\text{iso}}$ 的同一问题。本工作的新思路主要基于欧氏集的（交叉）协方差图的正则性条件以及正则变函数的标准性质。