几何涂抹性——Fr\'echet 均值的一种新现象

在过去的几十年中，中心极限定理（CLT）已被推广到非欧几里得数据空间。数年前人们发现，对于圆上某些随机变量，若其均值对径点处的概率密度为 $\frac{1}{2\pi}$，则样本 Fr\'echet 均值以尺度 $n^{-\tau}$（指数 $\tau < 1/2$）围绕总体均值渐近波动，且分布非正态。笔者及其合作者最近发现，高维球面上某些随机变量的 $\tau = 1/6$。本文表明，更令人惊讶的是，高维球面上的现象在性质上不同于圆上的现象，因为它纯粹依赖于空间的几何性质，即其曲率，而非依赖于对径点处的密度。这引出了几何涂抹性这一新概念。因此，球面可被形变，例如通过移除均值对径点邻域并在该处粘合一个平坦空间，配以光滑过渡段。这在一个与欧几里得空间微分同胚的流形上产生涂抹性。我们给出一类随机变量的例子，其具有 2-涂抹均值（即 $\tau = 1/6$），其值域含有一个包含均值割迹的洞。洞的大小呈现出维数灾难，因为它可随维数增大，收敛到局部 Fr\'echet 均值对面的整个半球。我们在 Kendall 预形状空间上的模拟地标形状中，以及在二维球面上地磁北极位置的真实数据中观察到涂抹性。