Fréchet 均值的综合中心极限定理与非欧空间上的非参数推断

推导了关于样本 Fréchet 均值的两个中心极限定理，二者对于非欧空间上的非参数推断均具有重要意义。第一个定理（定理 2.2）涵盖并改进了大多数关于 Fréchet 均值的早期中心极限定理，并将该方法的适用范围从流形扩展到多样化的新型非欧数据，包括在系统发育树研究中至关重要的某些分层空间上的数据。它不要求底层分布 $Q$ 具有密度，且适用于内蕴分析和外蕴分析。第二个定理（定理 3.3）专注于维数 $d>2$ 的黎曼流形上的内蕴均值，通过提供一个无需任何早期限制性支集假设的广泛中心极限定理而开辟了新天地。它对 $Q$ 的密度做出了统计上合理的某种光滑性假设。被排除的维数 $d=2$ 的情形证明是一个谜团，尽管第一个定理在支集限制下也提供了该情形的中心极限定理。定理 3.3 可直接应用于球面 $S^d$ ($d>2$)，这些球面在轴向空间应用和基于标志点的图像分析中也相当重要，因为这些空间是球面在 $S^d$ 等距变换的李群 $\mathcal G$ 下的商空间。