论平均形状的含义

本文将文献中先前无关的各种平均形状概念联系起来。特别是对于非流形，如Kendall的3D形状空间，本文回答了对于哪些均值可以应用双样本检验的问题。如果使用内在均值或Ziezold均值，答案是肯定的。均值在形状空间上的流形稳定性的潜在一般结果（即紧李群在黎曼流形上的等距作用产生的商空间）将微分几何中的切片定理与形状统计学融合在一起。然而，对于3D Procrustes均值，我们给出了一个反例。为了进一步阐明均值的微妙之处，对于球面和Kendall形状空间，推导了内在均值、残差/Procrustes均值和外在/Ziezold均值之间的一阶关系，表明在高集中度下，后者以$1:3$的比例近似分割前两者之间的（广义）测地线段。这一事实、坐标选择对检验功效的影响以及其他细节（例如外在Schoenberg均值可能增加维度）通过模拟和示例数据集进行了讨论和说明。