弗雷谢均值与卡楚尔准算术均值的尺度

在本文中，我们首先证明实数线开区间的任何内点都可以解释为相应度量距离下的弗雷谢均值，从而扩展了[Dinh等人，Mathematical Intelligencer 47.2 (2025)]的结论，该结论仅限于正实数区间内的幂均值。我们的通用构造依赖于我们用指数均值尺度和根式均值尺度演示的尺度概念。其次，我们将这些弗雷谢均值从几何上解释为在各种坐标系下表示的两个不同点在欧几里得线上的质心：也就是说，通过将欧几里得线解释为1维Hessian黎曼流形，我们在双坐标系中引入与凸对偶性相关的成对弗雷谢/卡楚尔均值。该结果使我们考虑任意维度的平方Hessian度量：我们证明这些平方Hessian度量等价于带由原始坐标系表示的Riemannian质心，即多变量准算术均值，与左侧Bregman质心一致。