由不变性性质确定的拟算术平均标度

众所周知，如果 $\mathcal{P}_t$ 表示幂平均集合，则映射 $\mathbb{R} \ni t \mapsto \mathcal{P}_t(v) \in (\min v, \max v)$ 对于任何非常数的正数序列 $v = (v_1,\dots,\,v_n)$ 既是单射又是满射。简言之，幂平均族构成一个标度。如果 $I$ 是一个区间且 $f \colon I \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续严格单调函数，则 $f^{-1}(\tfrac{1}{n} \sum f(v_i))$ 是幂平均的自然推广，称为由 $f$ 生成的拟算术平均。一个著名的民间定理指出，唯一的齐次拟算术平均是幂平均。我们证明，若用一种不变型公理替换齐次性要求，同样可以得到一个构成标度的拟算术平均族。