一族广义均值何时构成一个标度？
泛函分析
2013-04-30 v2
摘要
对于定义在U（I, U——开区间）上且满足某些温和正则性条件的一族实C²函数 {k_t | t ∈ I}，我们证明：对于每一个固定的、取值于U的非常数序列 a = (a_i)_{i=1}^n 以及每一组具有相同基数的正权重 w=(w_i)_{i=1}^n，映射 I ∋ t ↦ k_t^{-1}(∑_{i=1}^n w_i k_t(a_i)) 是I与(min a, max a)之间的连续双射。在这种情况下，我们称函数族 {k_t} 在U上生成一个标度。我们结果中的精确假设如下（所有指明的导数均关于 x ∈ U）：(i) 对于每个 t ∈ I，k'_t 在U中处处不为零；(ii) 对于每个 x ∈ U，映射 I ∋ t ↦ k''_t(x)/k'_t(x) 是递增的，在U的一个稠密子集上是1-1的，且映满像集R。这一结果使得若干新结论以及对经典结果的新证明成为可能。
引用
@article{arxiv.1104.3205,
title = {When is a family of generalized means a scale?},
author = {Paweł Pasteczka},
journal= {arXiv preprint arXiv:1104.3205},
year = {2013}
}