关于拟算术平均的一种类格性质

我们将证明，在一族满足一定光滑性假设（嵌入自然的点态序）的拟算术平均中，每个有限族都有上确界和下确界，且该上、下确界也是满足同样光滑性假设的拟算术平均。更确切地说，若 $f$ 和 $g$ 是处处一阶导不为零的 $\mathcal{C}^2$ 函数，则存在函数 $h$ 使得：(i) $A^{[f]} \le A^{[h]}$，(ii) $A^{[g]} \le A^{[h]}$，且 (iii) 对每个连续严格单调函数 $s \colon I \to \mathbb{R}$ 有 $$A^{[f]} \le A^{[s]} \text{ 且 } A^{[g]} \le A^{[s]} \text{ 蕴含 } A^{[h]} \le A^{[s]}$$（$A^{[f]}$ 表示由函数 $f$ 生成的拟算术平均，余类推）。此外 $h\in\mathcal{C}^2$，$h'\ne0$，且它是微分方程 $$\frac{h''}{h'}=\max\Big(\frac{f''}{f'},\,\frac{g''}{g'}\Big)$$ 的解。我们还给出了向有限平均族的某些推广。显然，带有反向不等式的对偶命题以及多函数推广也将被给出。