Hadamard 空间中中位数与均值的计算
度量几何
2014-06-26 v3 定量方法
摘要
Hadamard 空间中点的几何中位数以及 Fréchet 均值在理论和应用中都非常重要。令人惊讶的是，迄今为止尚无已知的计算算法。为解决这一问题，我们使用了近端点算法 (proximal point algorithm) 的分裂版本来最小化凸函数之和，并证明该算法产生一个收敛于目标函数最小值的序列，这将 D. Bertsekas (2001) 的近期结果推广到了 Hadamard 空间。该方法相当稳健，不仅产生了用于计算中位数和均值的算法，还适用于各种其他优化问题。此外，我们展示了另一种计算 Fréchet 均值的算法可以从 K.-T. Sturm (2002) 的大数定律中推导出来。在应用中，计算中位数和均值可能在树空间 (tree space) 中最为需要，树空间是 Hadamard 空间的一个实例，由 Billera、Holmes 和 Vogtmann (2001) 发明，作为平均系统发育树的工具。然而，事实证明它也可用于建模许多其他树状结构。由于 M. Owen 和 S. Provan (2011) 已提出了一种在树空间中计算测地线的多项式时间算法，我们获得了用于计算中位数和均值的高效算法，可直接应用于实践。
引用
@article{arxiv.1210.2145,
title = {Computing medians and means in Hadamard spaces},
author = {Miroslav Bacak},
journal= {arXiv preprint arXiv:1210.2145},
year = {2014}
}
备注
Corrected version. Accepted in SIAM Journal on Optimization